Um estudo sobre os encantamentos dos chapéus de Bio5

[Judit]

Olá gente, eu tinha postado a bastante tempo uns gráficos sobre a chance média de fragmentos ominosos necessários para levar um chapéu de um nível de encantamento até outro. Como isso ficou no discord e pode se perder resolvi transferir as imagens e explicações em um lugar mais fácil de encontrar, no caso nesse fórum. Vou deixar especificamente nessa página de Arcanos porque a classe é a mais legal? e porque é a classe que mais precisa e se beneficia dos hats de Bio5, talvez junto com os Bioquímicos.

Não vou simular como se obtém o encanto de insígnia por que até hoje não sei as chances exatas de obter uma insígnia ou pedra de atributo. Já me falaram que as chances são homogêneas, mas ainda cabe dupla interpretação nisso. Não sei se no segundo slot se tem uma chance de 50% e portanto 1/14 de obter uma insígnia específica ou se é uma chance de 1/6 de obter as insígnias e 1/36 de obter uma específica. O ideal seria fazer uma quantidade grande de testes pra avaliar isso, ainda o farei.

De toda forma o que temos disponível no Browiki são as chances de aumentar o nível do encanto e isso da pra calcular e simular bem a quantidade média de Fragmentos Ominosos gastos pra obter cada nível de encanto. O link do browiki que utilizo pra pegar as chances e fazer as contas esta aqui:
Tumba da Honra - bROWiki

Só uma introdução rápida de teoria

O processo de encanto segue uma coisa que em matemática chamamos de Cadeias de Markov, onde a chance de transição de um estado(nível de encantamento) para o outro é definido exclusivamente por seu atual estado e as probabilidades de transição vão ser os números compostos na matriz de transição. O problema é exatamente o mesmo de um chamado Gambler Ruin pra quem tiver curiosidade e quiser tentar reproduzir. A forma de conseguir a matriz de tempo médio de cada estado é escrever a matriz de transição pro encanto desejado e retirar linha e coluna do estado final(na matemática seria um estado recorrente) chamemos essa matriz de M pra obter a matriz de transição de estados se faz a inversão de (I-M) pra obter a matriz com os tempos médios.

Nível 2:

Para obter um encantamentos nível 2 temos o caso trivial que é simplesmente definido por (custo do encantamento)*1/(probabilidade de conseguirmos ir do 1 pro 2)
O resultado é de um custo médio pro encantamento nível 2 de 28.57 fragmentos. O gráfico com a taxa de sucesso pra cada gasto de encantamento está abaixo:

Nível 3:

Para obter um encantamentos nível 3, partindo do 1, temos uma matriz de tempo médio em cada estado:

Onde a interpretação da matriz é que começando da linha(encanto inicial) "i" vamos estar em média no encanto "j"(dada pela coluna) o valor contido na matriz na linha i e coluna J(exemplo pra ir do encanto 1 pro 3  o tempo médio esperado em que ficamos no encanto 1 é de 2.857 vezes)
Nesse caso o custo médio do encanto nível 2 sé da multiplicando o valor gasto no encanto pela quantidade média de vezes que passamos no encanto. No caso pro encanto 3
Valor Médio=2.85*20 + 2* 40=137.15 de custo médio


Simulando(50 mil encantos completados com sucesso):

A média da simulação é a mesma calculada analiticamente como esperado de 137 a mediana(valor em que 50% das pessoas ficam acima 50% abaixo) é de 120

Nivel 4:
Para obter um encantamentos nível 4, partindo do 1, temos uma matriz de tempo médio em cada estado:

A média do custo de partindo do encanto 1 chegar no 4 seria 20* 5.510+40*5.714+50*2.857=482 fragmentos ominosos de média para ir do 1 ao 4.
Precisa de uma média de 14 encantos pra alcançar o ME4. 
Demorando 5s a cada encanto demoraria menos de 2 minutos e  até obter o ME4

A simulação


Com média 481 e mediana de 360.

Nível 5:
Matriz de tempos médios:

Custo=13.46*20+16.85*40+11.428*50+4*70=1,795 fragmentos ominosos de custo médio pra ir do 1 pro 5
Pra conseguir o ME5  partindo do encanto 1 teria que encantar na média o valor do somatório da primeira linha que da um total de 45 encantos
Demorando 5s a cada encanto demoraria 3.8 minutos e  até obter o ME5

Simulação(50k encantos completados):


Mediana de 1300 média de 1805. Se afastou um pouco da média calculada, mas flutuações nessa ordem são esperadas.

Nível 6:
Matriz de tempos médios:
 
Custo=49.727*20+67.619*40+50.476*50+22.22*70+5.55*100=8,334 fragmentos ominosos de média pra ir do 1 pro 6.
Pra conseguir o ME6  partindo do encanto 1 da um total de 195 encantos
Demorando 5s a cada encanto demoraria 16 minutos e  até obter o ME6

Simulação(50k de encantamentos com sucesso)

Simulado
Mediana de 5880   Média 8361

Nível 7:
Matriz de tempos médios

Custo=292.381*20+407.333*40+311.79*50+144.171*70+42.73*100+7.69*150=53,250 fragmentos ominosos de média de ir do 1 pro 7
Pra conseguir o ME7  partindo do encanto 1 da um total de 1,206 encantos
Demorando 5s a cada encanto demoraria 1 hora e 40 minutos e  até obter o ME7

Simulação(50k simulações)

Simulado deu:
Mediana:36960 Média de   53373

Nível 8:
Matriz de tempos médios:

Custo=2745.9*20+3842*40+2954*50+1377*70+418.7*100+85.5*150+11.11*250= 510,176 ou média de 510k de fragmentos ominosos pra obter insígnia nível 8
Pra conseguir o ME8  partindo do encanto 1  da um total de 11,434 encantos
Demorando 5s a cada encanto demoraria 15 horas até obter o ME8

Simulação(10k simulações completadas, diminuiu porque começou a passar muito tempo rodando)

Mediana: 359640  Média: 518700

Nível 9:
Matriz de tempos médios:

Custo=41183*20+57655*40+44348*50+20694*70+6308*100+1303*150+185*250+16.6*500=7,677,019 ou 7.7 Milhões de fragmentos ominosos de custo médio.
Pra conseguir o ME9  partindo do encanto 1 da um total de 171,697 encantos
Demorando 5s a cada encanto demoraria 10 dias até obter o ME9

Simulando(1k de encantos completados)

Mediana:5.4Milhões  Média 7.76 milhões
Nível 10:
Matriz de Tempos Médio

Custo=963k*20+1349k*40+1037*50+484k*70+147k*100+30k*150+4k*250+416*500+25*1000=179,706,247 Ou 179.7 Milhões de Fragmentos Ominosos de média do 1 pro 10
Pra conseguir o ME10  partindo do encanto 1 teria que encantar uma média do somatório da primeira linha que da um total de 4 Milhões de encantos. Encantando uma vez a cada 5 segundos sem parar você conseguiria um ME10 depois de 233 dias na média.

Simulação(200 simulaçoes, demora pra rodar muito mais que isso)



Simulados:
Mediana de 121M  Média de 153M.  O desvio da média analítica é esperado devido a baixa quantidade de simulações.

Considerações Finais:
Lembrando que nesse tipo de gráfico a média geralmente fica em 63%(1-1/e) de sucesso, distribuições estatísticas sem memória ter sucesso no próximo encanto não depende se tu falhou ou teve sucesso no anterior. Ao gastar o valor médio pra pegar o encanto tu tens uma chance esperada de 63% de conseguir o encanto. Outra coisa é que a maioria dos jogadores vão conseguir o encanto desejado antes de gastar o valor médio porque a distribuição é não simétrica e a mediana é menor que a média.

O máximo que da pra fazer de forma viável é o nível 8 os mais caros vão ser 6 e 7 . Os níveis 9 e 10 precisam de sorte de mega sena pra conseguir, não da pra conseguir sem ter muita sorte.

Abaixo uma tabela com o resumo do necessário em cada nível de encanto, arredondados pro valor inteiro. O tempo médio considera um intervalo de 5s por encanto e ele é ininterrupto significando que ele representa o tempo médio caso não se faça mais nada a não ser tentar encantar nesse intervalo.

Abaixo em caixa de spoiler imagens que insistem em ficar mesmo quando edito o post! ignore elas, eu só não consegui remover ela sem estragar o resto do post

 

 

 

 

 

[Gale]

Parabéns! Muito bacana. Você poderia fazer um de outros sistemas.

Em 4/24/2021 em 3:57 PM, Judit disse:

Arcanos porque a classe é a mais legal?

Nessa parte aqui, já tinha percebido que era uma pessoa inteligente.

Editado Janeiro 14, 2022 por Gale

[Judit]

3 horas atrás, Gale disse:

Parabéns! Muito bacana. Você poderia fazer um de outros sistemas.

 

Eu fiz do sistema de refino, talvez depois eu poste. Coloquei tudo no discord de arcanos, tenho todos os scripts ainda, mas vai ficar para um outra hora.

[Kokuritsu]

Estocásticos aplicados em rag, que maravilha

[Judit]

1 hour ago, Kokuritsu said:

Estocásticos aplicados em rag, que maravilha

Ainda vou fazer o de refinos, cadeias de markov tem aplicação em quase tudo nessa vida mesmo que as vezes de forma besta ou disfarçada.

[Kokuritsu]

5 minutos atrás, Judit disse:

Ainda vou fazer o de refinos, cadeias de markov tem aplicação em quase tudo nessa vida mesmo que as vezes de forma besta ou disfarçada.

Matemática aplicada tá em tudo nessa vida mesmo que de forma besta SUAHSUAHSUA (eu não sei dizer muito bem se Estocásticos tá mais pro lado da estatística ou da matemática aplicada mas meu instinto diz que é da aplicada SUHAUSHA)
Não manjo muito aprofundadamente de nenhuma área (estudo licenciatura em matemática, e pessoalmente gosto mais das discussões sobre o ensino da matemática do que da matemática em si), mas é sempre bom quando aparece gente usando matemática MATEMÁTICA em situações de lazer/cotidianas. Parabéns pela disposição e pelo trabalho

[Zangz]

Parabéns pelo post! agradeço muito. Sempre tive curiosidade, mas nunca fui atrás da resposta. Me economizou muito trabalho e com certeza vai ajudar muito a comunidade.

[martimz]

   Olá pessoal, acredito que eu tenha algumas informações interessantes para trazer à comunidade. Os resultados estão de acordo com a excelente análise da Judit.

   Depois que o Seph obteve encantamento +10 no encantamento da virtude de bio5, resolvi fazer umas contas.

   Descobri que a probabilidade de alguém colocar um encantamento de bio5 do +1 ao +10 segue uma distribuição exponencial, conforme mostrado na figura abaixo, da probabilidade de conseguir refinar do +1 ao +10 em função do número de tentativas. A média de tentativas necessárias para colocar o encantamento no +10 foi de m = 4.1 milhões.

   Sabendo que essa distribuição é exponencial, podemos usar todas as ferramentas disponíveis dessa análise matemática. Em especial, a distribuição de probabilidade acumulada também é conhecida, conforme figura abaixo (de novo, em função do número de tentativas). Por esse gráfico, deduzimos por exemplo que conseguir refinar até o +10 usando no máximo x = 10 mil tentativas tem probabilidade de y = 1 - exp(- 10 mil / 4.1 milhões) = 0.24%. Ou seja, 1 chance em 417 (já que 1/0.24% = 417). Em outras palavras, se o Seph tentou 10 mil vezes refinar seu encantamento do +1 ao +10, ele tem que ter tido a sorte de 1 em 417 para ter dado certo. Realmente uma sorte de loteria!

 

   Por fim, se alguém quiser fazer a conversão para o número de omniosos usados, essa relação é de uma reta, conforme pode ser visto na figura abaixo (do número de omniosos usados em função do número de tentativas). A relação entre ambas as quantidades é de y = 45x. Ou seja, se alguém tentou refinar 10 mil vezes, seriam gastos em média 450 mil omniosos.

 

   A conclusão é: é como se o Seph realmente tivesse ganhado na loteria!

   Se eu tiver tempo, posso tentar responder dúvidas ou fazer mais simulações a pedidos.

EDIT: um amigo me disse que o Seph gastou aproximadamente 4 Kafras de Omniosos (isto é, 120 mil pedras) para colocar o encantamento de Bio 5 no +10. Podemos calcular a chance disso ter ocorrido. Conforme mostrei na figura 3 do meu comentário, a relação entre número de tentativas e omniosos para colocar do +1 ao +10 é 

Tentativas = Omniosos / 45

Se o Seph gastou 120 mil omniosos, então o número de tentativas deve ter sido aproximadamente

Tentativas = 120 mil / 45 = 2667

Conforme mostrado na segunda figura do meu comentário, a probabilidade de conseguir refinar do +1 ao +10 com no máximo T tentativas é dada por

prob_acumulada = 1 - exp( - T / 4.1 milhões )

onde exp(...) é a função exponencial. Assim, se as tentativas foram T = 2667, a probabilidade seria

prob_acumulada = 1 - exp( - T / 4.1 milhões ) = 0.065%

Isto é, se o Seph gastou 120 mil omniosos, a chance dele ter conseguido colocar o encantamento de bio5 do +1 ao +10 seria de 0.065%, ou seja, 1 chance em 1500 (=1/0.065%). Realmente algo extremamente improvável! A chance disso não acontecer seria de 1-0.065% = 99.9%.

Editado Abril 19, 2022 por martimz
Adicionando exemplo mais concreto

[Squirt]

Muito bom. Eu fiz algo parecido quando eu tirei RM2/RM2 na vestimenta arrogante com 20 tentativas. Obviamente, odds bem mais altas, mas ainda assim foi divertido calcular e me sentir especial por ter tido essa sorte. Infelizmente tem gente aqui no fórum que não gosta quando a gente faz estudos "sérios" sobre o jogo e fica desmerecendo quem faz.